스넬의 법칙 유도하기 (ft. 페르마의 최소시간)

 스넬의 법칙을 페르마의 최소시간의 원리로 유도해볼까 한다.

 먼저 페르마의 최소시간의 원리는

위와 같이, 빛이 어느 시작점부터 도착점까지 진행할 때 

[무수히 많은 길 중에 가장 짧은 시간이 걸리는 경로로 진행한다]는 원리이다.

 '최단거리의 원리와 다를 것이 없지 않느냐?'라는 질문이 있을 수 있다. 

두 지점의 매질을 다르게 해보면 차이를 알 수 있다.

 첫 그림과 같이 많은 경로를 그려보았다. 

만약 같은 매질(n=n')이라면, 빨간색 선이 최소시간이다. 

매질이 다르다 = 각 매질에서의 속도가 다르다

속도로 경로를 추정해보니, 

초록색과 같이 가는 경로가 제일 빨랐다.

사진 출처 : 경상대학교

 이제 위 그림으로 식 유도를 위해 가보자

- 빛은 S에서 P로 간다.

- 수많은 경로를 통하여 가는 시간을 t라고 해보자

- t는 x값에 영향을 받으므로 t(x)이다.

- t(x)가 최솟값일 때, x를 알 수 있다.

- x를 통해 O점을 알 수 있다.

- S-O-P이 최소시간이자, 빛의 경로이다.

이제 직관이 아닌 수식으로 나타내보자

- t는 O점에 대해 아래와 같이 쓸 수 있다. 

(v는 각 매질에서의 빛 속력이다.)

- 속력에는 굴절률과의 관계를 대입하고, 

 길이는 피타고라스의 정리를 대입해보자

(속력과 굴절률과의 관계, 피타고라스는 굳이 기재하지 않음)

- t(x)가 최솟값을 가지는 x는

를 했을 때 0이 된다. 정리하면

여기서 x를 찾고 O의 위치를 알면 

최소시간의 경로를 알 수 있다.

이제까지가 '초록색 경로 찾기'였다.

- 스넬의 법칙을 유도해보자

정리하면 아래와 같이 유도된다.

삼각함수로 정리하면

가 된다.

즉, 스넬의 법칙이다.

자료출저 - 출처 - formulas.tutorvista.com, www.ux1.eiu.edu, 대학물리